超度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离：其结构与计算

Gromov-Hausdorff距离（$d_\mathrm{GH}$）提供了一种量化两个给定度量空间之间差异的自然方式。已知计算两个有限度量空间之间的$d_\mathrm{GH}$是NP难的，即使在有限超度量空间的情况下也是如此——超度量空间是高度结构化的度量空间，满足所谓的\emph{强三角不等式}。超度量空间自然出现在许多应用中，如层次聚类、系统发育学、基因组学甚至语言学。通过利用超度量空间的特殊结构，（1）我们识别出定义在有限超度量空间集合上、构造方式类似于Gromov-Hausdorff距离的一族单参数距离$\{d_\mathrm{GH}^{(p)}\}_{p\in[1,\infty]}$，特别地有$d_\mathrm{GH}^{(1)} = d_\mathrm{GH}$。当$p=\infty$的极端情形（我们也记为$u_\mathrm{GH}$）被证明是超度量空间集合上的一个超度量。尽管对所有$p\in[1,\infty)$，$d_\mathrm{GH}^{(p)}$均给出NP难问题，但我们证明令人惊讶的是$u_\mathrm{GH}$可在多项式时间内计算。该证明基于本文建立的$u_\mathrm{GH}$结构定理；（2）受$u_\mathrm{GH}$结构定理启发，并通过细致利用超度量空间的性质，我们还建立了限于超度量空间时$d_\mathrm{GH}$的一个结构定理。该结构定理使我们能够识别出$d_\mathrm{GH}$在计算上易处理的特殊超度量空间族。这些族由与度量空间翻倍常数相关的性质决定。基于这些族，我们设计了一种用于计算超度量空间之间$d_\mathrm{GH}$精确值的固定参数可处理（FPT）算法。我们相信这是首个被识别出的此类算法。