epsilon重数及理想族的密度函数

代数不变量的密度函数是在 $\mathbb{R}$ 上度量该不变量的可测函数，其度量基于 $\mathbb{R}$ 尺度。此函数在无需额外数据的情况下携带了与该不变量相关的更多信息。它由第三作者引入，已被证明是研究特征 $p$ 不变量（即齐次 ${\bf m}$-准素理想的 Hilbert-Kunz 重数）的有用工具。本文中，我们为标准分次整环 $A$ 中齐次理想的 Noether 滤过 $\{I_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 构造密度函数 $f_{A,\{I_n\}}$，并为由齐次理想 $I$ 的饱和幂给出的滤过构造密度函数 $f_{A,\{\widetilde{I^n}\}}$。作为推论，我们得到 $A$ 中齐次理想 $I$ 的 epsilon 重数 $\varepsilon(I)$ 的密度函数 $f_{\varepsilon(I)}$。我们进一步证明函数 $f_{A,\{I_n\}}$ 除可能在一点外处处连续，而 $f_{A,\{\widetilde{I^n}\}}$ 处处连续且除可能在一点外连续可微。作为推论，epsilon 密度函数 $f_{\varepsilon(I)}$ 是 $\mathbb{R}$ 上除一点外紧支撑的连续函数，且满足 $\int_{\mathbb{R}_{\geq 0}} f_{\varepsilon(I)} = \varepsilon(I)$。三个函数 $f_{A,\{I^n\}}$、$f_{A,\{\widetilde{I^n}\}}$ 和 $f_{\varepsilon(I)}$ 在取 $I$ 的整闭包下均保持不变。作为该理论的推论，我们观察到对角子代数的“重标度” Hilbert-Samuel 重数构成一个连续族。