具有重叠的随机迭代函数系统不变测度的绝对连续性

我们考虑区间上带有随机扰动的迭代函数系统。设 $Y_\epsilon$ 在 $[1- \epsilon, 1 + \epsilon]$ 上均匀分布，$f_i \in C^{1+\alpha}$ 是具有不动点 $a_i$ 的压缩映射。我们考虑迭代函数系统 $\{Y_\epsilon f_i + a_i (1 - Y_\epsilon) \}_{i=1}^n$，其中每个映射以概率 $p_i$ 被选取。结果表明，不变密度属于 $L^2$ 空间，且当 $\epsilon$ 趋于零时，$L^2$ 范数的增长速率不超过 $1/\sqrt{\epsilon}$。