关于实代数数分布的密度函数

本文研究了实代数数的分布。给定区间 $I$、正整数 $n$ 和 $Q>1$，定义计数函数 $\Phi_n(Q;I)$ 为 $I$ 中度数为 $n$ 且高度 $\le Q$ 的代数数的个数。令 $I_x = (-\infty,x]$。分布函数定义为当 $Q\to\infty$ 时，$\Phi_n(Q;I_x)$ 与度数为 $n$ 且高度 $\le Q$ 的实代数数总数之比的极限。我们证明了该分布函数存在且连续可微。我们还给出了其导数（称为分布密度）的显式公式，并建立了 $\Phi_n(Q;I)$ 的渐近公式，其中包含了渐近误差项的上下界估计。这些估计被证明对于 $n \ge 3$ 是精确的。主要定理的一个推论是：度数 $n \ge 2$ 的实代数数的分布是非均匀的。