单位圆上复代数数的分布

对于$-\pi\leq\beta_1<\beta_2\leq\pi$，记$\Phi_{\beta_1,\beta_2}(Q)$为单位圆上辐角属于$[\beta_1,\beta_2]$、次数为$2m$且椭圆高不超过$Q$的代数数的个数。我们证明\n$$\Phi_{\beta_1,\beta_2}(Q)=Q^{m+1}\int\limits_{\beta_1}^{\beta_2}{p(t)}\,{\rm d}t+O\left(Q^m\,\log Q\right),\quad Q\to\infty,$$\n其中$p(t)$除常数因子外与某个随机三角多项式的根的密度一致。该密度利用Edelman--Kostlan公式被显式算出。