可积截面料代数中的多项式增长与函数演算

设 ${\sf G}$ 为一个具有 $d$ 阶多项式增长的局部紧群，${\sf G}$ 上有一个多项式权重 $\nu$，以及一个 Fell 丛 $\mathscr C\overset{q}{\to}{\sf G}$。我们研究了 Banach $^*$-代数 $L^1({\sf G}\,\vert\,\mathscr C)$ 和 $L^{1,\nu}({\sf G}\,\vert\,\mathscr C)$，它们分别由关于 ${\rm d} x$ 和 $\nu(x){\rm d} x$ 可积的截面料组成。通过探索 $L^p$-范数与 Hilbert $C^*$-模 $L^2_{\rm e}({\sf G}\,\vert\,\mathscr C)$ 的范数之间的新关系，我们能够证明自伴、紧支撑、连续截面料的增长是多项式的。更确切地说，它们满足 $$\|{e^{it\Phi}}\|=O(|t|^n),\quad\text{ as }|t|\to\infty,$$ 其中 $n$ 的值仅取决于 $d$ 和权重 $\nu$。我们利用这一事实为这类元素开发了光滑函数演算。我们还给出了这些代数具有对称性的一些充分条件。作为推论，我们证明了这些代数是局部正则的、$^*$-正则的，并且在对称时具有 Wiener 性质，以及其他结果。我们的结果对于与 $C^*$-动力系统相关的卷积代数而言也是新的。