关于等距表示在 $L^p$ 空间中的 cocycle 增长

我们研究了关于等距表示在 Banach 空间中 1-cocycle 各种渐近增长概念。可以将其视为量化此类空间中固定点属性缺失的一种方式。受 Lafforgue 工作的启发,我们证明了以下二分命题:对于紧致生成群 $G$,要么所有取值于 $L^p$ 空间的 1-cocycle 都是有界的(这是性质 $FL^p$),要么存在一个取值于 $L^p$ 空间的 1-cocycle具有相对快速的增长。我们也获得了关于具有凸性属性的 Banach 空间中调和 1-cocycle平均增长的上界和下界。作为结果,我们获得了对于具有性质 $(T)$ 的群中所有取值于 $L^p$ 空间的 1-cocycle平均增长的界限。最后,我们证明对于紧致生成群 $G$,若存在一个压缩系数大于 $\sqrt{n}$ 的 1-cocycle,则该群上大类概率测度满足 Liouville 性质。