$p$-卷积代数在 $L^q$ 空间上的表示

对于非平凡局部紧群 $G$ 和 $p\in [1,\infty)$，考虑 $p$-伪函数、$p$-伪测度、$p$-卷积子以及全群 $L^p$-算子代数这些 Banach 代数。我们证明这些 Banach 代数是算子代数当且仅当 $p=2$。更一般地，我们证明对于 $q\in [1,\infty)$，这些 Banach 代数能表示在 $L^q$-空间上当且仅当以下条件之一成立： 等价于 $p=2$ 且 $G$ 是阿贝尔群；或 等价于 $|\frac 1p - \frac 12|=|\frac 1q - \frac 12|$。该结果可解释如下：对于 $p,q\in [1,\infty)$，群的 $L^p$-与 $L^q$-表示理论是不可比的，除非在它们等价的平凡情形下。作为应用，我们证明对于不同的 $p,q\in [1,\infty)$，若一个拓扑动力系统的 $L^p$ 与 $L^q$ 交叉积同构，则 $\frac 1p + \frac 1q=1$。为了证明这一点，我们研究了 $L^p$-交叉积的以下相关方面：逼近单位的存在性、关于 $p$ 的对偶性，以及从群代数到其乘子代数的典范等距映射的存在性。