卷积算子代数的同构

对于 $p,q\in [1,\infty)$，我们研究局部紧群相关的 $p$- 和 $q$-卷积代数的同构问题。尽管众所周知并非每个群都能从其群 von Neumann 代数中恢复，但我们证明对于 $p\neq 2$ 的 $p$-卷积算子代数 $\mathrm{CV}_p(G)$ 和 $p$-伪测度代数 $\mathrm{PM}_p(G)$ 而言情况如此。更一般地，我们证明若 $\mathrm{CV}_p(G)$ 与 $\mathrm{CV}_q(H)$ 等距同构，且 $p,q\neq 2$，则 $G$ 必同构于 $H$，且 $p$ 与 $q$ 相等或共轭。这意味着不存在 Connes 超有限 II$_1$-因子唯一性的 $L^p$-版本。类似结果适用于 $p$-伪函数代数 $\mathrm{PF}_p(G)$，推广了 Wendel 的一个经典结果。我们还表明，利用我们的主定理可以轻松恢复并推广群的其他 $L^p$-刚性结果。我们的结果回答了 Herz 在 70 年代最初提出的问题。此外，我们的方法揭示了关于所述 Banach 代数的新信息。作为一个非平凡应用，我们验证了介于 $\mathrm{PF}_p(G)$ 与 $\mathrm{CV}_p(G)$ 之间的所有 Banach 代数的自反性猜想：若任一此类代数自反且顺从，则 $G$ 有限。