椭圆曲线 Weierstrass 模型的局部与全局密度

我们证明了关于 $\mathbb{Q}_p$ 上具不同约化类型的椭圆曲线的 $p$-进密度的局部结果，以及关于 $\mathbb{Q}$ 上在一个或多个（包括无穷多个）素数处具指定约化类型的椭圆曲线的密度的全局结果。这些全局结果包括：$\mathbb{Q}$ 上半稳定椭圆曲线（即具有无平方因子导子的椭圆曲线）的极小模型之整 Weierstrass 方程的密度为 $1/\zeta(2)\approx60.79\%$，与无平方因子整数的密度相同；$\mathbb{Q}$ 上半稳定椭圆曲线的密度为 $\zeta(10)/\zeta(2)\approx60.85\%$；具有无平方因子判别式的整 Weierstrass 方程的密度为 $\prod_p\left(1-\frac{2}{p^2}+\frac{1}{p^3}\right) \approx 42.89\%$，这与（除素数 $2$ 处因子不同外）具有无平方因子判别式的首一整三次多项式的密度相同（并与 Baier 和 Browning 先前关于短 Weierstrass 方程的结果一致）；以及 $\mathbb{Q}$ 上具有无平方因子极小判别式的椭圆曲线的密度为 $\zeta(10)\prod_p\left(1-\frac{2}{p^2}+\frac{1}{p^3}\right)\approx42.93\%$。局部结果源于对 Tate 算法的详细分析，而全局结果则通过使用 Poonen、Stoll 和 Bhargava 发展的 Ekedahl 筛法获得。