圆上的球面丛的极小三角剖分

对于整数 $d \geq 2$ 和 $\epsilon = 0$ 或 1,令 $S^{1, d - 1}(\epsilon)$ 表示球面积 $S^{1} \times S^{d - 1}$(若 $\epsilon = 0$)以及扭曲的 $S^{d - 1}$ 丛 over $S^{1}$(若 $\epsilon = 1$)。本文的主要结果是:(a) 若 $d \equiv \epsilon$ (mod 2),则 $S^{1, d - 1}(\epsilon)$ 有使用 $2d + 3$ 个顶点的唯一极小三角剖分;以及 (b) 若 $d \equiv 1 - \epsilon$ (mod 2),则 $S^{1, d - 1}(\epsilon)$ 有使用 $2d + 4$ 个顶点的极小三角剖分(不唯一)。第二个结果证实了 Lutz 最近的一个猜想。第一个结果提供了除球面外已知的首个闭流形无穷族,其极小三角剖分是唯一的。实际上,我们证明虽然 $S^{1, d - 1}(\epsilon)$ 至多有一个 $(2d + 3)$-顶点三角剖分(当 $d \equiv \epsilon$ (mod 2) 时为一个,否则为零),但与之形成鲜明对比的是,对于这些 $d$-流形,非同构的 $(2d + 4)$-顶点三角剖分的数量随 $d$ 指数增长(对 $\epsilon$ 的任一选择均如此)。(a) 中的结果以及 (b) 中的极小性部分,是以下结果的推论:(c) 对于 $d \geq 3$,存在一个唯一的 $(2d + 3)$-顶点单纯复形,它三角剖分了一个非单连通的 $d$ 维闭流形。这个惊人的单纯复形由 K"{u}hnel 于 1986 年首次构造。推广 Brehm 和 K"{u}hnel 在 1987 年的结果,我们证明 (d) 任意非单连通闭 $d$-流形的三角剖分至少需要 $2d + 3$ 个顶点。(c) 完全刻画了 (d) 中取等号的情形。证明依赖于正规伪流形的下界定理以及 Alexander 对偶的组合版本。