流形紧三角剖分与极小三角剖分的构造原理

紧三角剖分是组合拓扑中奇特但高度规则的对象。如果一个三角剖分到欧几里得空间的所有分段线性嵌入都达到底层流形拓扑所允许的凸性，则称其为紧的。紧三角剖分被猜想为强极小的，且已在维数 $\leq 3$ 时被证明如此。然而，尽管关于此类三角剖分已有大量理论结果，其例子却极为稀少。事实上，除二维外，我们不知道在任意给定维数中是否存在无穷多个此类剖分。本文提出一种便于计算机处理的组合方案来获得紧三角剖分，并给出三维、四维和五维的新例子。此外，我们描述了一族紧三角剖分的 $d$-流形，对每个维数 $d \geq 2$ 具有 $2^{d-1} \lfloor d / 2 \rfloor ! \lfloor (d-1) / 2 \rfloor !$ 个同构不同的成员。尽管我们仍不知道在固定维数 $d > 2$ 中是否存在无穷多个紧三角剖分，该结果表明此类剖分数量丰富。