流形三角剖分的面数

本文讨论任意维数下流形广义三角剖分的面数。该研究受对单连通 $4$-流形三角剖分研究的启发：我们观察到，对于具有 $n$ 个五胞体的单连通 $4$-流形 $\mathcal{M}$ 的三角剖分 $\mathcal{T}$，作为 $n$ 的函数的 $\mathcal{T}$ 顶点数 $v$ 的上界可导出仅依赖于 $\mathcal{M}$ 的第二 Betti 数 $\beta_2(\mathcal{M})$ 的 $n$ 的下界。在此框架下，我们猜想 $v \leq \frac{n}{2}+4$，这蕴含 $n \geq 2\beta_2(\mathcal{M})$。在作者即将发表的工作中，证明了该猜想界对于所有 $\beta_2(\mathcal{M})$ 值几乎都是紧的，至多存在两个的间隙。我们将该猜想推广至任意维数，并证明具有 $n$ 个面的奇数维 $d$-流形（$n \geq d$）的三角剖分至多有 $n + \frac{d-1}{2}$ 个顶点，同时猜想对于偶数 $d$，该界为 $\frac{n}{2}+d$。我们证明这些（猜想）界对于所有奇（偶）维数及所有 $n \geq d$ 的值是（将是）紧的。最后，我们给出了 $\mathcal{T}$ 的对偶图满足我们猜想的必要条件。此外，我们给出了一些在其边链环中存在奇点的 $4$-维伪流形族，其顶点数超过 $\frac{n}{2}+4$，从而证明了流形条件对于我们的猜想成立是必要的。