闭三维流形的紧三角剖分

众所周知，闭二维流形的一个三角剖分关于特征为二的域是紧的当且仅当它是邻接的；且它关于奇特征域是紧的当且仅当它是邻接且可定向的。此前对于更高维流形，尚无此类紧性的刻画。本文证明，闭三维流形的一个三角剖分关于奇特征域是紧的当且仅当它是邻接、可定向且堆叠的。由此，Kühnel-Lutz 猜想在三维情形下对奇特征域成立。接下来设 $\mathbb{F}$ 为特征为二的域。已知在此情形下，闭三维流形的任何邻接且堆叠的三角剖分都是 $\mathbb{F}$-紧的。对于顶点数至多 71 或第一 Betti 数至多 188 的三角剖分闭三维流形，我们证明其逆亦真。但顶点数更大时存在 $\mathbb{F}$-紧的非堆叠三角剖分的可能性仍未解决。我们证明了关于此类三角剖分的如下上界定理。若闭三维流形的一个 $\mathbb{F}$-紧三角剖分有 $n$ 个顶点且第一 Betti 数为 $\beta_1$，则 $(n-4)(617n-3861) \leq 15444\beta_1$。等号成立当且仅当该三角剖分的所有顶点链环都是二十面体边界复形的连通和。