关于三角化三维流形的树宽

在图论以及三维流形拓扑中，存在若干宽度型参数用以描述给定图或三维流形有多“简单”或“薄”。这些参数，如图的路径宽或树宽，或三维流形的薄位概念，在研究算法问题时起着重要作用；特别地，计算三维流形拓扑中存在多种问题——其中一些已知一般而言计算困难——只要输入三角剖分的对偶图具有有界树宽，就会变为可在多项式时间内求解。鉴于这些算法结果，自然会问是否每个三维流形都容许有界树宽的三角剖分。我们证明情况并非如此，即存在无限族闭三维流形不容许有界路径宽或树宽的三角剖分（后者蕴含前者，但我们给出两个独立的证明）。我们通过揭示三维流形 M 的拓扑与其三角剖分对偶图的宽度型参数之间的显式联系，从 Agol、Scharlemann 与 Thompson 以及 Scharlemann、Schultens 与 Saito 的工作中导出这些结果，回答了计算三维流形拓扑研究者反复提出的一个问题。特别地，我们证明若一个闭的、可定向的、不可约的非 Haken 三维流形 M 具有树宽（相应地为路径宽）k 的三角剖分，则 M 的 Heegaard 亏格至多为 18(k+1)（相应地为 4(3k+1)）。