单纯球面的横截数与着色

受 Holmsen、Pach 和 Tverberg 引入的 $\mathbb{R}^d$ 中点集的环绕性质启发，我们考虑单纯球的横截数与色数。作为对单纯 $d$-球面最大横截比给出下界的尝试，我们提供了两种无限构造。第一种构造对每 $d\geq 2$ 给出无穷多个 $(d+1)$ 维单纯多面体，其横截比恰为 $\frac{2}{d+2}$。在 $d=2$ 的情形，这紧密达到了先前著名的 $1/2$ 上界。第二种构造给出无穷多个横截比大于 $1/2$ 的单纯 3-球面。这在此前关于环绕性质的认识下是出乎意料的。此外，我们证明对 $d\geq 3$，$d$ 维单纯球面 $\mathsf{K}$ 的面超图 $\mathcal{F}(\mathsf{K})$ 的色数 $\chi(\mathcal{F}(\mathsf{K})) \in O(n^{\frac{\lceil d/2\rceil-1}{d}})$，其中 $n$ 为 $\mathsf{K}$ 的顶点数。这略微改进了 Heise、Panagiotou、Pikhurko 和 Taraz 先前获得的上界。