离散流形的染色

离散d-流形是定义在图论内部、可三角化经典流形的一类有限简单图。我们证明离散d-流形G的色数X(G)介于d+1与2(d+1)之间。由两有限简单图联图A+B的恒等式X(A+B)=X(A)+X(B)可得，存在色数X=(3k+1)的(2k)-球面与色数X=3k的(2k-1)-球面。色数X(G)=5的2-流形例子自Fisk的开创性工作起便已为人所知。现有数据支持ceil(3(d+1)/2)可作为所有d-流形G的上界，推广了Albertson-Stromquist的猜想——即所有2-流形G的X(G)上界为5。对d-流形，Fisk引入了(d-2)-变种O(G)。该图O(G)具有(d-2)维极大单形，对应于G中满足对偶圈具有奇数基数的完全子图K_{d-1}。一般地，O(G)是(d-2)-流形的并。我们注意到若对所有x有O(S(x))为空或(d-3)-球面，则O(G)为(d-2)-流形或空。对3-流形G，纽结O(G)已颇具趣味，因Fisk已证明任意可能的纽结均可作为某3-流形G的O(G)出现。尤其对4-流形G，只要所有O(S(x))在每个单位3-球面S(x)中为空或纽结，Fisk变种O(G)便是G中的2-流形。