若干类带号图上的圆形 $(4-\epsilon)$-染色

带号图 $(G, \sigma)$ 的圆形 $r$-染色是将圆周 $C_r$（周长为 $r$）上的点分配给 $(G, \sigma)$ 的顶点的一类赋值 $\phi$，使得对 $(G, \sigma)$ 的每条正边 $uv$，$\phi(u)$ 与 $\phi(v)$ 的距离至少为 1，而对每条负边 $uv$，$\phi(u)$ 与 $\phi(v)$ 的对跖点的距离至少为 1。$(G, \sigma)$ 的圆形色数记为 $\chi_c(G, \sigma)$，是使得 $(G, \sigma)$ 存在圆形 $r$-染色的最小 $r$ 的下确界。该概念由 Naserasr、Wang 和 Zhu 近期提出，他们除其他结果外证明了：对任意带号 $d$-退化简单图 $\hat{G}$，有 $\chi_c(\hat{G})\leq 2d$。对 $d\geq 3$，给出了圆形色数为 $2d$ 的带号 $d$-退化简单图实例。但对 $d=2$，仅给出了圆形色数足够接近 $4$ 的带号 2-退化简单图实例，并指出这些实例也是带号二部平面图。本文中我们首先观察到对四色定理的如下重述：若 $(G,\sigma)$ 是一个带号二部平面简单图，且其中一部所有顶点度数均为 2，则 $\chi_c(G,\sigma)\leq \frac{16}{5}$。受此观察启发，我们对 $n$ 个顶点的带号 2-退化简单图给出了改进的圆形色数上界 $4-\dfrac{2}{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}$，并对 $n$ 个顶点的带号二部平面简单图给出了改进的圆形色数上界 $4-\dfrac{4}{\lfloor \frac{n+2}{2} \rfloor}$。进而我们证明上述每个界对任意 $n\geq 4$ 均为紧的。