单定向符号图中的圆流

本文引入单定向符号图 $(G, \sigma)$ 中圆 $r$-流的概念。即一对 $(D, f)$，其中 $D$ 是 $G$ 上的一个定向，$f: E(G)\to (-r,r)$ 满足对每条正边 $e$ 有 $|f(e)|\in [1, r-1]$，对每条负边 $e$ 有 $|f(e)|\in [0, \frac{r}{2}-1]\cup [\frac{r}{2}+1, r)$，且在每个顶点处总入流等于总出流。无正桥的符号图 $(G, \sigma)$ 的圆流指数，记为 $\Phi_c(G,\sigma)$，是使 $(G, \sigma)$ 容许圆 $r$-流的最小 $r$。这是近期文献[圆色数与符号图。R. Naserasr, Z. Wang, and X. Zhu. Electronic Journal of Combinatorics, 28(2)(2021), \#P2.44]中引入的符号图圆着色与圆色数的对偶概念，且不同于文献中研究的与符号图关联的双定向图中的圆流概念。我们给出若干等价定义，研究单定向符号图中圆流的基本性质，探索其与图中流的关联，并聚焦于用 $G$ 的边连通度给出的 $\Phi_c(G,\sigma)$ 的上界。同时我们注意到，对于特定值 $r_{_k}=\frac{2k}{k-1}$，当限制于两个自然的符号图子类时，圆 $r_{_k}$-流的存在性与模 $k$-定向的存在性紧密关联，且在平面图情形下，基于对偶，与到 $C_{-k}$ 的同态紧密关联。