递归定义有向图的定向色数的高效计算

本文考虑有向图的着色，即有向无环图（无长度为 2 的圈的有向图）。给定某个有向图 $G=(V,E)$，其定向 $r$-着色是顶点集 $V$ 的一个划分为 $r$ 个独立集，使得这些独立集两两之间的所有弧具有相同方向。$G$ 的定向色数是使得 $G$ 允许定向 $r$-着色的最小整数 $r$。本文考虑递归定义有向图类上的定向色数问题。定向余图（oriented co-graphs，即定向可补可约图的简称）可由单点图通过不交并和序合成递归定义。该递归结构允许在线性时间内计算最优定向着色和定向色数。我们利用完美可序图的概念推广了这一结果。因此，我们证明了对于无环传递有向图，沿拓扑序的每种贪心着色都得到最优定向着色。Msp-有向图（minimal series-parallel digraphs，即极小串并行有向图的简称）可由单点图通过并行合成和串行合成定义。我们证明了 msp-有向图的定向色数上界为 $7$，并给出一个例子表明该上界是最佳可能的。我们应用此上界及 msp-有向图的递归结构，得到了计算 msp-有向图定向色数的线性时间解法。为推广关于特殊图类定向色数计算的结果，我们考虑了定向色数问题在所谓结构参数下的参数化复杂性，这些参数衡量了将图分解为特殊树结构的难度。