关于曲面上图的定向着色

对于有向图 $G$，对 $G$ 进行定向着色所需的最少颜色数称为 $G$ 的定向色数，记为 $\chi_o(G)$。对于非负整数 $g$，令 $\chi_o(g)$ 为满足对于每个 Euler 示性数至多为 $g$ 的有向图 $G$ 均有 $\chi_o(G) \leq \chi_o(g)$ 的最小整数。我们将证明 $\chi_o(g)$ 近乎线性，即 $\Omega(\frac{g}{\log(g)}) \leq \chi_o(g) \leq O(g \log(g))$。这解决了作者、Bradshaw 和 Xu 提出的一个问题，改进了他们 $\Omega((\frac{g^2}{\log(g)})^{1/3}) \leq \chi_o(g)$ 和 $\chi_o(g) \leq O(g^{6400})$ 形式的界。