稀疏图的奇着色

图的一个正常着色若满足每个非孤立顶点在其邻域上都有某种颜色出现奇数次，则称为\emph{奇}着色。使图 $G$ 存在奇着色的最小颜色数记为 $\chi_o(G)$。该概念由 Petruševski 和 Škrekovski 引入，他们证明了若 $G$ 是平面图则 $\chi_o(G)\le 9$；他们还猜想 $\chi_o(G)\le 5$。对于正实数 $\alpha$，我们考虑所有最大平均度小于 $\alpha$ 的图 $G$ 上 $\chi_o(G)$ 的最大值，并将该值记为 $\chi_o(\mathcal{G}_{\alpha})$。我们注意到对所有 $\alpha\ge 4$，$\chi_o(\mathcal{G}_{\alpha})$ 无定义。相反，对于每一个 $\alpha\in[0,4)$，我们给出了 $\chi_o(\mathcal{G}_{\alpha})$ 的一个（近乎紧的）上界。最后，我们证明了 $\chi_o(\mathcal{G}_{20/7})= 5$ 与 $\chi_o(\mathcal{G}_3)= 6$。这两个结果均为紧的。