环面图的奇色数至多为 9

众所周知，每个平面图都是 $4$-可着色的。环面图是可嵌入环面上的图。已证每个环面图都是 $7$-可着色的。图的一个正常着色若使得每个非孤立顶点在其邻域中至少有一个颜色出现奇数次，则称为\emph{奇}着色。使得图 $G$ 存在奇着色的最小颜色数记为 $\chi_{o}(G)$。本文证明：若 $G$ 为环面图，则 $\chi_{o}\left({G}\right)\le9$；注意到 $K_7$ 是环面图，该上界不小于 $7$。