球面 Turán 数的一个条件下界

我们研究超图 Turán 问题，即确定 $\mathrm{ex}(n, S^d)$，该值表示在不包含单纯 $d$-球面（$S^d$ 的同胚）作为子复形的情况下，$n$ 个顶点上的 $d$ 维单纯复形所能拥有的最大面片数。我们证明，如果 Gromov 关于高维球面计数的一个问题得到肯定回答，则 $\mathrm{ex}(n, S^d) \geq \Omega(n^{d + 1 - (d + 1)/(2^{d + 1} - 2)})$。此外，这一下界对于 2-LC 球面无条件成立，其中包括所有可壳构球面，因而也包括所有多胞形。我们还利用简单的归纳论证证明了 $\mathrm{ex}(n, S^d)$ 的上界为 $O(n^{d + 1 - 1/2^{d - 1}})$。我们猜想该上界可以改进以匹配条件下界。