有界面积极小超曲面的 Morse 指数、Betti 数与奇异集

我们引入一种组合论证来研究有界面积和高 Morse 指数的闭极小超曲面。设 $(M^{n+1},g)$ 为闭黎曼流形，$\Sigma\subset M$ 为闭嵌入极小超曲面，其面积至多 $A>0$ 且奇异集的 Hausdorff 维数至多 $n-7$。我们展示如下界：存在仅依赖于 $n$、$g$ 和 $A$ 的 $C_A>0$ 使得 $$\sum_{i=0}^n b^i(\Sigma) \leq C_A \big(1+index(\Sigma)\big) \quad \text{ 若 $3\leq n+1\leq 7$},$$ $$\mathcal{H}^{n-7}\big(Sing(\Sigma)\big) \leq C_A \big(1+index(\Sigma)\big)^{7/n} \quad \text{ 若 $n+1\geq 8$},$$ 其中 $b^i$ 表示任意域上的 Betti 数，$\mathcal{H}^{n-7}$ 为 $(n-7)$ 维 Hausdorff 测度，$Sing(\Sigma)$ 为 $\Sigma$ 的奇异集。事实上在维数 $n+1=3$ 时，$C_A$ 线性依赖于 $A$。我们在文末列出了一些开放问题。