双侧 Allen-Cahn 极小超曲面的谱与指标

Guaraco、Hutchinson、Tonegawa 和 Wickramasekera 的共同工作最近给出了一个经典定理的新证明：任何维数 $n + 1 \geq 3$ 的闭黎曼流形都包含一个奇异集的豪斯多夫维数至多为 $n-7$ 的极小超曲面。该证明避开了在原证明中起关键作用的针对面积泛函的 Almgren--Pitts 几何极小极大过程，而是基于 Allen--Cahn 泛函临界点的一个相当简单的 PDE 极小极大构造。在此我们证明由此构造产生的超曲面的谱下界。这直接给出了该超曲面的 Morse 指标的上界（用临界点的指标表示），只要它是双侧的。特别地，由 Guaraco 构造得到的双侧超曲面的 Morse 指标至多为 $1$。最后，我们通过一个基本的归纳论证指出超曲面的正则性如何由稳定情形下的相应结果推出。