基于 Allen--Cahn 的泛存多重性为 1 的极小极大极小超曲面

在 Guaraco 2018 年的工作中，给出了紧致黎曼流形 $N^{n+1}$（$n\geq 2$）中存在闭极小超曲面的新证明。这是通过采用 Allen--Cahn 逼近格式以及对 Allen--Cahn 能量的单参数极小极大（依赖于 Hutchinson、Tonegawa、Wickramasekera 的工作以在 Allen-Cahn 参数趋于 $0$ 时取极限）实现的。所得极小超曲面先验可带一个局部常整数重数。此处我们考虑对上述工作中极小极大的修正构造，允许在施行山口构造的两谷点选择上有初始自由度，再对该选择进行优化。我们证明，当 $2\leq n\leq 6$ 且度量为 bumpy 时，该极小极大导出一个重数为 $1$ 的（光滑闭）极小超曲面。（当 $n=2$ 时，此结论亦由 Chodosh--Mantoulidis 近期工作得出。）作为直接推论，我们得到：维数 $n+1$、$2\leq n\leq 6$ 的每一个具 bumpy 度量的紧致黎曼流形，都承认一个双侧光滑闭极小超曲面（此存在性结论亦由 Zhou 基于 Almgren--Pitts 理论的极小极大构造近期结果得出）。