自由边界极小超曲面的极小极大理论 II——一般 Morse 指数界及其应用

对于带边界的 $(n+1)$ 维紧流形 $(M,\partial M)$ 上的任意光滑黎曼度量（其中 $3\leq (n+1)\leq 7$），我们建立了在 Almgren-Pitts 框架下由极小极大理论产生的自由边界极小超曲面的 Morse 指数的通用上界。我们将 Morse 指数估计应用于证明：对于几乎每一个（在 $C^\infty$ Baire 意义下）黎曼度量，所有紧的、真嵌入的自由边界极小超曲面的并集在 $M$ 中稠密。若进一步假设 $\partial M$ 具有一个严格平均凸点，我们证明存在无穷多个边界非空的紧的、真嵌入的自由边界极小超曲面。我们的结果证明了 Yau 在自由边界情形下关于泛型度量的一个猜想。