黎曼流形中具有自由边界的极小圆盘的最小最大构造

本文建立一种在任何闭黎曼流形中构造具有自由边界的极小圆盘的最小最大理论。主要结果是 Fraser 所建立的具有自由边界的极小圆盘偏 Morse 理论的一个有效版本。我们的理论也包含作为特例的极小圆盘 Plateau 问题的最小最大理论，可用于将 Morse-Thompkins 与 Shiffman 关于 $\mathbf{R}^n$ 中极小曲面的著名工作推广到黎曼情形。更确切地说，我们将 Colding 与 Minicozzi 引入的利用调和替换的极小曲面最小最大构造推广到自由边界情形。作为该构造的关键要素，我们证明了从 $\mathbf{R}^2$ 中半单位 $2$-圆盘到任何闭黎曼流形具有混合 Dirichlet 与自由边界的弱调和映射的能量凸性，这特别给出了此类弱调和映射的唯一性。这是 Colding 与 Minicozzi 所证单位 $2$-圆盘上具 Dirichlet 边界弱调和映射的能量凸性与唯一性的自由边界类比。