关于小加倍集合

设 $G$ 为任意阿贝尔群，$A$ 为 $G$ 的有限子集。若对某个 $K>0$ 有 $|A+A| < K|A|$，则称 $A$ 具有小加法加倍。这些集合在 G.A. Freiman、Y. Bilu、I. Ruzsa、M.C.--Chang、B. Green 与 T.Tao 的论文中被研究。在本文中我们证明，若对 $K$ 有若干轻微限制，则对任意小加倍集合，存在集合 $\Lambda$，$|\Lambda| \ll K \log |A|$，使得 $|A\cap \Lambda| \gg |A| / K^{1/2 + c}$，其中 $c > 0$。与先前结果不同，我们的定理对大 $K$ 也是非平凡的。例如可取 $K = |A|^\eta$，其中 $\eta>0$。我们的证明使用了初等方法。