关于具有给定加倍常数的集合个数

我们研究给定 Abel 群 $G$ 中满足 $|J+J|\leq K|J|$ 的 $s$ 元子集 $J$ 的个数。通过证明 Alon、Balogh、Morris 与 Samotij 的一个猜想，并改进 Green 与 Morris 在 $K$ 固定时证明该猜想的结果，我们对这类集合的个数给出了一个上界：当 $G=\mathbb{Z}$ 且 $K=o(s/(\log n)^3)$ 时，该上界在 $2^{o(s)}$ 的因子内是紧的。我们还将此结果推广到任意 Abel 群，在许多情形下其紧性同样达到 $2^{o(s)}$ 因子。证明中使用的主要工具是 Morris、Samotij 与 Saxton 近期引入的非对称容器引理。