有限循环群中集合由其三重相关确定之问题

设 $G$ 为有限交换群，$E$ 为其子集。假设对所有大小不超过 $k$ 的 $G$ 的子集 $T$，我们知道有多少个 $x \in G$ 使得平移 $x+T$ 包含于 $E$ 中。该信息统称为 $E$ 的 $k$-层牌。人们可自然地将 $k$-层牌的定义域扩充到包含 $G$ 上的函数。给定群 $G$，何时 $G$ 中一个集合的 $k$-层牌足以确定该集合至多差一个平移？2-层牌不充分（即便允许集合的反射，其不改变 2-层牌），故第一个有趣情形为 $k=3$。我们进一步限制 $G$ 为循环群，并确定使得 $\ZZ_n$ 的子集的 3-层牌足以确定该集合至多差一个平移的 $n$ 值。这在 3-层牌方面完成了 Gr"unbaum 与 Moore 开始的工作。此外我们从上方估计了对于 $\ZZ_n$ 的一个随机子集，存在另一非其平移且具有相同 3-层牌的子集的概率。当此前已知上界为 $O(1\bigl / \sqrt{n})$ 时，我们给出了一个指数小的上界。