仅用两块瓦片或一块非阿贝尔瓦片的无判定平移铺砌

我们构造了一个群 $G = \mathbb{Z}^2 \times G_0$ 的例子，其中 $G_0$ 为有限阿贝尔群，以及 $G_0$ 的子集 $E$ 和 $G$ 的两个有限子集 $F_1,F_2$，使得在 ZFC 中 $\mathbb{Z}^2\times E$ 能否被 $F_1,F_2$ 的平移铺砌是无判定的。特别地，这意味着该铺砌问题是非周期的，即在 ZFC 的标准全域中，存在用瓦片 $F_1,F_2$ 对 $E$ 的平移铺砌，但不存在周期铺砌。此前，此类非周期或无判定平移铺砌仅对十一个或更多瓦片的集合（大多在 $\mathbb{Z}^2$ 中）构造过。类似构造也适用于充分大的 $d$ 时的 $G = \mathbb{Z}^d$。若允许群 $G_0$ 为非阿贝尔群，该构造的一个变体产生仅用一块瓦片 $F$ 的无判定平移铺砌。论证过程首先观察到单个铺砌方程能够编码任意铺砌方程组，而后者一旦拥有两块或更多瓦片便可编码任意某类函数方程组。特别地，可用两块瓦片编码任意数目瓦片的铺砌问题。