整数具有长周期的平移铺砌

设 $A$ 是直径为 $D$ 的整数有限集。又设整数集 $B$ 使得 $A+B$ 是整数的一个铺砌,即每个整数可唯一表示为 $a+b$,其中 $a\in A$, $b\in B$。众所周知在此情形下 $B$ 必为周期集。此处我们研究 $A$ 的直径 $D$ 与 $B$ 的最小周期 $T$ 之间的关系。我们证明 $T$ 至多为 $C \exp(C \sqrt D \log D \sqrt{\log\log D})$,且可取到至少关于 $D$ 二次的 $T$。