平面中平移多重拼砌的周期结构

设 $f\in L^1(\mathbb{R}^d)$，$\Lambda\subset\mathbb{R}^d$ 是平移格的有限并，使得 $f+\Lambda$ 以某权重拼砌。我们证明存在格 $L\subset{\mathbb{R}}^d$ 使得 $f+L$ 也拼砌，权重可能不同。作为一个推论，结合 Kolountzakis 的一个结果，它意味着任何通过平移多重拼砌平面的凸多边形都容许格多重拼砌，其重数可能不同。我们的第二个结果是对通过平移多重拼砌平面的凸多边形的新刻画。它也提供了一个非常有效的判据来判断凸多边形是否容许平移多重拼砌。作为一个应用，对任意 $m\geq 4$，可轻易构造不通过平移多重拼砌的对称 $(2m)$-边形。最后，我们证明非平行四边形的凸多边形若容许周期多重拼砌，则只容许周期多重拼砌。