具有重数的准周期铺砌：一种晶格枚举方法

凸多面体 $P$ 的 $k$-铺砌问题是指利用平移向量的离散多重集 $\Lambda$ 对 $P$ 进行平移以覆盖 $\mathbb R^d$，使得 $\mathbb R^d$ 中的每一点（$P$ 的边界及其平移除外）恰好被覆盖 $k$ 次。铺砌问题研究中的一个经典结果是 McMullen 定理：若凸多面体 $P$ 利用离散多重集 $\Lambda$ 对 $\mathbb R^d$ 进行 1-铺砌，则实际上它可以利用晶格 $\mathcal L$ 对 $\mathbb R^d$ 进行 1-铺砌。Gravin、Robins 和 Shiryaev 提出了针对 $k$-铺砌的 McMullen 定理推广猜想，该猜想指出：若 $P$ 利用离散多重集 $\Lambda$ 对 $\mathbb R^d$ 进行 $k$-铺砌，则存在某个 $m$，使得 $P$ 利用晶格 $\mathcal L$ 对 $\mathbb R^d$ 进行 $m$-铺砌。在本文中，我们考虑 $P$ 利用包含于准周期集 $\mathcal Q$（即平移晶格的有限并集）中的离散多重集 $\Lambda$ 对 $\mathbb R^d$ 进行 $k$-铺砌的情形。这一研究的动机源于 Gravin、Kolountzakis、Robins 和 Shiryaev 的结果，该结果表明对于 $d \in \{2,3\}$，若多面体 $P$ 利用离散多重集 $\Lambda$ 对 $\mathbb R^d$ 进行 $k$-铺砌，则存在某个 $m$，使得 $P$ 利用准周期集 $\mathcal Q$ 对 $\mathbb R^d$ 进行 $m$-铺砌。在此我们证明，对于所有维数 $d$，若多面体 $P$ 利用包含于满足温和假设的准周期集 $\mathcal Q$ 中的离散多重集 $\Lambda$ 对 $\mathbb R^d$ 进行 $k$-铺砌，则存在某个 $m$，使得 $P$ 利用晶格 $\mathcal L$ 对 $\mathbb R^d$ 进行 $m$-铺砌。这一结果强化了 Gravin、Kolountzakis、Robins 和 Shiryaev 的结论，并为证明 Gravin 等人的猜想迈出了一步。