有限非交换单群置换作用的全闭包

对于正整数 $k$，若群 $G$ 在其每个忠实作用的集合 $\Omega$ 上，都是 $\mathrm{Sym}(\Omega)$ 中保持 $\Omega\times\cdots\times \Omega=\Omega^k$ 上诱导作用的每个 $G$-轨道不变的最大子群，则称 $G$ 为全 $k$-闭的。每个有限群 $G$ 都是全 $|G|$-闭的，且 $k(G)$ 表示使得 $G$ 为全 $k$-闭的最小整数 $k$。我们着手确定有限单群 $G$ 的闭包数 $k(G)$。在我们工作之前，已知素数阶循环群以及恰好六个散在单群有 $k(G)=2$，而所有其他有限单群有 $k(G)\geq3$。我们确定了交错群的值，即 $k(A_n)=n-1$。此外，对于所有单群 $G$，除交错群和典型群外，我们证明 $k(G)\leq 7$。最后，若 $G$ 是自然模维度为 $n$ 的有限单典型群，我们证明当 $n \ge 14$ 时 $k(G)\leq n+2$，否则 $k(G) \le \lfloor n/3 + 12 \rfloor$，且某些群族可达到更小上界。这是基于已知特定作用的上界，确定 $G$ 本原作用的基大小（base sizes）的一致上界（依赖于 $n$ 和 $G$ 的类型）而实现的。我们提出了若干开放问题，旨在完成有限单群闭包数的确定。