关于有界 $(\frak g, \frak k)$-模的零化子

设 $\frak g$ 为半单 Lie 代数，$\frak k\subset\frak g$ 为约化子代数。我们称 $\frak g$-模 $M$ 为有界 $(\frak g, \frak k)$-模，如果 $M$ 是单有限维 $\frak k$-模的直和，且所有单 $\frak k$-模在该直和中的重数一致有界。本文的目的是证明，在基域为代数闭且特征为 0 的假设下，单 $(\frak g, \frak k)$-模 $M$ 的“有界性”性质等价于 $M$ 的零化子的相关簇（这是 $\frak g^*$ 内幂零余伴随轨道的闭包）的一个性质。特别地，这意味着如果 $M_1, M_2$ 是单 $(\frak g, \frak k)$-模，使得 $M_1$ 是有界的且 $M_1$ 和 $M_2$ 的零化子的相关簇重合，则 $M_2$ 也是有界的。这一结论是 I. Penkov 和 V. Serganova 所建立的纯代数事实的几何类似物，并曾作为猜想出现在我的博士论文中。