约化李代数模表示中的拟单模与Loewy长度

设 $\frak g$ 为特征 $p>0$ 的代数闭域上的约化李代数。本文研究 $\frak g$ 的具有与 $\frak g$ 的单根系 $\Pi$ 的给定子集 $I$ 相关联的标准 Levi 型 $p$-特征 $\chi$ 的表示。令 $U_\chi({\frak g})$ 为 $\frak g$ 的约化包络代数。引入“拟单模”（记为 $\mathcal L_\chi(\lambda)$）这一概念。此类模的性质被证明优于相应的单模 $\widehat L_\chi(\lambda)$。它使我们能从新视角研究 $U_\chi({\frak g})$-模，并相应给出新的结论。首先，我们证明 $\mathcal L_\chi(\lambda)$ 的一阶自扩张为零，且当 $\lambda$ 为 $p$-正则时 $\mathcal L_\chi(\lambda)$ 的投射维数有限。这些性质使得用 $\mathcal L_\chi(\lambda)$ 替换 $\widehat L_\chi(\lambda)$ 来重写 Lusztig 猜想（关于 $U_\chi({\frak g})$-模范畴中不可约特征的 Lusztig 猜想）公式具有重要意义。其次，借助拟单模，我们得到了 $U_\chi({\frak g})$ 上标准模与真标准模的 Loewy 长度公式。并通过研究若干例子，我们就不可分解投射 $\frak g$-模、标准模与真标准模的 Loewy 长度提出了一些猜想。