在半单部分上局部有限的李代数模

对于 $\mathbb{C}$ 上带有固定 Levi 分解 $\mathfrak{L} = \mathfrak{g} \oplus \mathfrak{r}$ 的有限维李代数 $\mathfrak{L}$，其中 $\mathfrak{g}$ 为半单的，我们研究那些作为 $\mathfrak{g}$-模分解为具有有限重数的简单有限维 $\mathfrak{g}$-模直和的 $\mathfrak{L}$-模。我们称此类模为 $\mathfrak{g}$-Harish-Chandra 模。我们对与 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_2$ 相关的 Takiff 李代数以及 Schr"{o}dinger 李代数的简单 $\mathfrak{g}$-Harish-Chandra 模给出了完整分类，并在其他情形得到部分结果。Enright 与 Arkhipov 完备函子的一个适配版本在我们的论证中起关键作用。此外，对于 Takiff $\mathfrak{sl}_2$ 和 Schr"{o}dinger 李代数，我们计算了无限维简单 $\mathfrak{g}$-Harish-Chandra 模的第一扩张群及其在泛包络代数中的零化子。在一般情形，我们给出了无限维简单 $\mathfrak{g}$-Harish-Chandra 模存在的充分条件。