局部有限分裂 Lie 代数的正能量表示

设 $\mathfrak g$ 为 $A_J$、$B_J$、$C_J$ 或 $D_J$ 型局部有限分裂单复 Lie 代数，$\mathfrak h \subseteq \mathfrak g$ 为分裂 Cartan 子代数。固定 $D \in \mathrm{der}(\mathfrak g)$ 满足 $\mathfrak h \subseteq \ker D$（对角导子）。则 $\mathfrak g$ 的每个酉最高权表示 $(\rho_\lambda, V^\lambda)$ 均可延拓为半直积 $\mathfrak g \rtimes \mathbb C D$ 的表示 $\tilde\rho_\lambda$，若 $-i\tilde\rho_\lambda(D)$ 的谱有下界，则称 $\tilde\rho_\lambda$ 为正能量表示。本文刻画了所有使此条件成立的 $\lambda$ 有界对 $(\lambda,D)$。若 $U_1(\mathcal H)$ 是无限维实、复或四元数 Hilbert 空间上 Schatten $1$ 类酉群且 $\lambda$ 有界，则我们相应得到了关于由 $D$ 诱导的连续 $\mathbb R$-作用满足正能量条件的最高权表示 $\pi_\lambda$ 的刻画。在此背景下，表示 $\pi_\lambda$ 是范数连续的，且我们的结果蕴含了一个显著结论：对于正能量表示，向 $D$ 添加一个适当的内导子，可使 $\tilde\rho_\lambda(D)$ 的最小特征值为 $0$（最小能量条件）。满足最小能量条件的相应 $(\lambda,D)$ 对可相当容易地显式描述。