钉扎路径群上区域中 Witten 拉普拉斯算子低层 Dirichlet 特征值的渐近性

设 $G$ 为紧李群，$P_{e,a}(G)=C([0,1]\to G\mid\gamma(0)=e,\gamma(1)=a)$ 为钉扎路径空间，其上定义了由热核 $p(\lambda^{-1}t,x,y)$ 给出的钉扎布朗运动测度 $\nu_{\lambda,a}$，其中 $\lambda$ 为正参数。我们考虑在某个区域 $\mathcal{D}\subset P_{e,a}(G)$ 上具有 Dirichlet 边界条件的 Witten 拉普拉斯算子 $-L_{\lambda,\mathcal{D}}$，该区域包含 $e$ 与 $a$ 之间的有限多条测地线 $\{l_1,\ldots,l_N\}$。$\nu_{\lambda,a}$ 具有形式路径积分表达式 $\nu_{\lambda,a}(d\gamma)=Z_{\lambda}^{-1}\exp\left(-\lambda E(\gamma)\right)d\gamma$，其中 $E(\gamma)=\frac{1}{2}\int_0^1|\dot{\gamma}(t)|^2dt$，且当 $a$ 不是 $e$ 的割点集中的点时 $E$ 为莫尔斯函数。因此，类比有限维情形，人们可能期望 $-\lambda^{-1}L_{\lambda,\mathcal{D}}$ 的低层谱可由在 $\lambda\to\infty$ 时逼近 $-\lambda^{-1}L_{\lambda,\mathcal{D}}$ 在每个临界点 $\{l_i\}$ 处的奥恩斯坦-乌伦贝克型算子的谱集来逼近。然而，与有限维情形不同，近似奥恩斯坦-乌伦贝克型算子的谱集包含本质谱。在 $\{l_i\}$ 处近似奥恩斯坦-乌伦贝克型算子的本质谱邻域的补集中，研究 $-\lambda^{-1}L_{\lambda,\mathcal{D}}$ 的低层离散谱的渐近行为是困难的。在本文中，我们研究了该补集中低层离散谱的渐近行为。