路径空间中小区域上狄利克雷拉普拉斯算子广义第二最小特征值的半经典极限

设$M$为完备黎曼流形。令$P_{x,y}(M)$为$M$上以固定点$x$为起点、$y$为终点的连续路径空间。假设$x$和$y$足够接近，使得它们之间的极小测地线$c_{xy}$是唯一的。令$-L_{\lambda}$为$P_{x,y}(M)$中测地线$c_{xy}$小邻域上带有狄利克雷边界条件的Ornstein-Uhlenbeck算子。$L^2$-空间的基础测度$\bar{\nu}^{\lambda}_{x,y}$是限制在$c_{xy}$邻域上的固定端点布朗运动测度的归一化概率测度，而$\lambda^{-1}$是布朗运动的方差参数。我们证明，在小方差极限（半经典极限）$\lambda\to\infty$下，$-L_{\lambda}$的广义第二最小特征值除以$\lambda$收敛于$c_{xy}$处$H^1$-路径能量函数的黑塞矩阵的最小特征值。