关于主特征值的 Donsker-Varadhan 不等式的一个变体

本短文的目的是给出经典 Donsker-Varadhan 不等式的一个变体，该不等式通过相关漂移-扩散过程的最大平均首次逃逸时间给出有界区域 $\Omega$ 上二阶椭圆算子第一特征值的下界：$$\lambda_1 \geq \frac{1}{\sup_{x \in \Omega} \mathbb{E}_x \tau_{\Omega^c}}.$$ 我们不考察首次逃逸时间的均值，而是研究分位数：设 $d_{p, \partial \Omega}:\Omega \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ 为使得在该时间内逃逸的可能性为 $p$ 的最小时间 $t$，则 $$\lambda_1 \geq \frac{\log{(1/p)}}{\sup_{x \in \Omega} d_{p,\partial \Omega}(x)}.$$ 此外，当 $p \rightarrow 0$ 时，该下界收敛于 $\lambda_1$。