分形零分次李、结合、泊松与 Jordan 超代数

我们构造了一个恰无限的、分形的、3-生成元李超代数 $\mathbf Q$（定义于任意域上），它生成一个结合包络 $\mathbf A$、一个泊松超代数 $\mathbf P$ 以及两个 Jordan 超代数 $\mathbf J$、$\mathbf K$。$\mathbf A$ 有一个自然滤子，其关联分次代数具有泊松超代数结构且 $\mathrm{gr} \mathbf A\cong\mathbf P$，并且 $\mathbf P$ 容许代数量子化。李超代数 $\mathbf Q$ 按生成元的多重次数被精细地 $\mathbb Z^3$-分次，$\mathbf A$、$\mathbf P$ 是 $\mathbb Z^3$-分次的，而 $\mathbf J$、$\mathbf K$ 是 $\mathbb{Z}^4$-分次的。这五个超代数具有清晰的单项基和缓慢的多项式增长。我们描述了 $\mathbf Q$、$\mathbf A$、$\mathbf P$ 的基的多齐次坐标在空间中被“近似三次抛物面”所界定。$\mathbb R^4$ 中类似的超曲面界定了 $\mathbf J$、$\mathbf K$ 的单项。本文的构造可应用于先前研究的李超代数，并同样得到泊松与 Jordan 超代数。代数 ${\mathbf Q}$、${\mathbf A}$ 以及无单位代数 $\mathbf P^o$、$\mathbf J^o$、$\mathbf K^o$ 是两个局部幂零子代数的直和，并且存在连续统多个这样的分解。此外，$\mathbf Q=\mathbf Q_{\bar 0}\oplus \mathbf Q_{\bar 1}$ 是一个零分次李超代数。在 $\mathrm{char}\, K=2$ 情形下，$\mathbf Q$ 具有限制李代数结构并带有零 $p$-映射。Jordan 超代数 $\mathbf K$ 是恰无限零精细 $\mathbb Z^4$-分次的，而特征零时此类（例如 Grigorchuk 群的类似物）李代数与 Jordan 代数的例子并不存在。我们称 $\mathbf Q$、$\mathbf A$、$\mathbf P$、$\mathbf J$、$\mathbf K$ 为分形的，因为它们包含无穷多个自身的拷贝。