拟线性增长的三叶草幂零限制李代数

Grigorchuk 群和 Gupta-Sidki 群在现代群论中扮演着基础性角色。它们是自相似有限生成周期群的自然例子。作者在特征为 2 的限制李代数情况下构造了它们的类似物，Shestakov 和 Zelmanov 将此构造推广到任意正特征。此外，作者还构造了一族具有慢多项式增长和幂零 $p$-映射的双生成限制李代数。现在，我们构造了一族所谓的三叶草三生成限制李代数 $T(\Xi)$，其中正特征域是任意的，$\Xi$ 是正整数的无穷元组。我们证明 $1\le \mathrm{GKdim}T(\Xi)\le3$，此外，具有常数元组的三叶草李代数的 Gelfand-Kirillov 维度集合在 $[1,3]$ 上是稠密的。我们构造了一族非同构的幂零限制李代数 $T(\Xi_{q,\kappa})$ 的子族，其中 $q\in\mathbb N$，$\kappa\in\mathbb R^+$，其具有极慢的拟线性增长，类型为：当 $m\to\infty$ 时，$\gamma_{T(\Xi_{q,\kappa})}(m)=m\big(\ln^{(q)}\!m\big)^{\kappa+o(1)}$。本研究受到 Kassabov 和 Pak 构造的振荡增长群的启发。作为类似物，我们在另一篇论文中构造了中间振荡增长的幂零限制李代数。我们称它们为“凤凰代数”，因为在无穷多个时间段内，由于具有上述“拟线性”增长，该代数“几乎消亡”；而对于无穷多个 $n$，其增长函数表现为 $\exp(n/(\ln n)^{\lambda})$，在这些时间段内该代数正在“复苏”。本文构造的拟线性增长的三生成幂零限制李代数是该结果的重要组成部分，负责该构造中的下界拟线性增长。