平坦准 Frobenius Lie 超代数

若非结合代数配备非退化反对称双线性型，则称为预共轭 (pre-symplectic)。若此代数为 Lie 超代数且该型为闭型，则称为准 Frobenius (quasi-Frobenius)。我们引入与预共轭超代数关联的 Levi-Civita 乘积，并证明其存在性与唯一性。随后引入准 Frobenius Lie 超代数关联的共轭乘积。我们证明此类乘积始终存在，但并非唯一。因此，我们定义一种依赖于 Lie 结构与双线性型的天然共轭乘积。当此乘积的曲率消失时，超代数称为平坦准 Frobenius Lie 超代数 (flat quasi-Frobenius Lie superalgebra)。本文研究平坦准 Frobenius Lie 超代数，提出平坦双扩张 (flat double extension) 的概念。我们证明双扩张过程可完全描述此类超代数。更准确地说，任何平坦正交/符号 (orthosymplectic) 或二面体 (periplectic) 准 Frobenius Lie 超代数均可通过从阿贝尔（或平凡）超代数出发的一系列平坦双扩张所得。此外，我们证明每个平坦准 Frobenius Lie 超代数均为仰角 (nilpotent) 且具退化中心。我们运用上述结果，对总维数不超过五的此类超代数完成完整分类。