借助 $T^*$-扩张 notion 描述某些二次李超代数的结构

在本注记中，我们引入李超代数 ${\mathfrak g}$ 的 $T^*-$扩张 $T^*{\mathfrak g}$ 的概念，即 ${\mathfrak g}$ 由其对偶空间 ${\mathfrak g}^*$ 所作的一个扩张。自然配对在 $T^*{\mathfrak g}$ 上诱导出一个偶超对称非退化双线性型 $B$，它是不变的（$B([X,Y],Z)=B(X,[Y,Z])$ 对所有 $X,Y,Z \in T^*{\mathfrak g}$ 成立），亦即一个二次（或度量或正交）李超代数的结构。这些扩张可由 ${\mathfrak g}$ 的第三偶标量上同调群分类。此外，我们证明所有有限维二次李超代数 ${\mathfrak a}={\mathfrak a}_{\bar{0}} \oplus {\mathfrak a}_{\bar{1}}$，若其为幂零的，或为可解且满足 $[{\mathfrak a}_{\bar{1}},{\mathfrak a}_{\bar{1}}]\subset [{\mathfrak a}_{\bar{0}},{\mathfrak a}_{\bar{0}}]$，在特征为零的代数闭域情形下均可通过 $T^*-$扩张构造出来。