$sl(n,\mathbb{F})$上量子群与李双代数结构的分类：与 Brauer 群的关系

给定任意特征为 0 的域$\mathbb{F}$，基于相应经典双（classical double）的描述，我们研究了$sl(n,\mathbb{F})$上的李双代数结构。对于任何李双代数结构$\delta$，其经典双$D(sl(n,\mathbb{F}),\delta)$同构于$sl(n,\mathbb{F})\otimes_{\mathbb{F}} A$，其中$A$要么是$\mathbb{F}[\varepsilon]$（满足$\varepsilon^{2}=0$），要么是$\mathbb{F}\oplus \mathbb{F}$，要么是$\mathbb{F}$的二次域扩张。在第一种情况下，分类导出了$sl(n,\mathbb{F})$的准 Frobenius 李子代数。在第二和第三种情况下，可以引入 Belavin--Drinfeld 上同调，从而能够在规范等价下对$sl(n,\mathbb{F})$上的李双代数进行分类。计算了与$r$-矩阵相关的 Belavin--Drinfeld 非扭曲和扭曲上同调集。对于$sl(3)$中的 Cremmer--Gervais $r$-矩阵，我们还构造了从总 Belavin--Drinfeld 扭曲上同调集到域$\mathbb{F}$的 Brauer 群的自然映射。