李代数的双交叉积、匹配对形变与因子分解指数

对于一个完美李代数 $\mathfrak{h}$，我们将所有包含 $\mathfrak{h}$ 作为余维数为 $1$ 的子代数的李代数进行了分类。此类李代数的自同构群被完全确定为半直积 $\mathfrak{h} \ltimes (k^* \times {\rm Aut}_{\rm Lie} (\mathfrak{h}))$ 的子群。在非完美情形下，这些李代数的分类是一项困难的任务。设 $\mathfrak{l} (2n+1, k)$ 为具有括号关系 $[E_i, G] = E_i$，$[G, F_i] = F_i$（对所有 $i = 1, \dots, n$）的李代数。我们通过计算所有可能的双交叉积 $k \bowtie \mathfrak{l} (2n+1, k)$，明确描述了所有包含 $\mathfrak{l} (2n+1, k)$ 作为余维数为 $1$ 的子代数的李代数。它们由集合 ${\rm M}_n (k)^4 \times k^{2n+2}$ 参数化，该集合已被明确确定。为了计算某些类型为 $k \subset k \bowtie \mathfrak{l} (2n+1, k)$ 的扩张的因子分解指数，我们描述了 $\mathfrak{l} (2n+1, k)$ 的几种匹配对形变。我们提供了一个具有无限因子分解指数的此类扩张的例子。